Juros Compostos

Juros Compostos

Conceito

Antes de começarmos a estudar juros compostos, a título de comparação faremos uma pequena revisão do regime de capitalização simples. Nos capítulos anteriores, vimos que os JUROS SIMPLES apresentam as seguintes características:

1. são calculados sobre o capital inicial;

2. são diretamente proporcionais ao prazo (ou número de períodos), ao capital aplicado e à taxa de juros da aplicação;

3. são adicionados ao capital inicial no final do prazo, formando o montante.

Em suma,

J_s = C.i.n

M_s = C(1 + in)

No regime de JUROS COMPOSTOS os juros são capitalizados não no final do prazo e sim no final de cada período, ou seja, o juro do primeiro período é adicionado ao capital inicial e sobre esse montante é calculado o juro do segundo período que por sua vez será adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro do período seguinte, e assim sucessivamente.

Vamos a um exemplo:

Você aplicou 1.000 em uma insituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses. Vamos calcular o montante M₃ no final desse prazo.

Temos que:

C = 1.000

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

n = 3 (capitalização mensal)

Então, o montante M₁ no final do primeiro período será dado por:

M₁ = 1.000

M₁ = 1.000 . 1,02

M₁ = 1.020

O montante M₂ no final do segundo período será dado por:

M₂ = 1.020 (1 + 0,02)

M₂ = 1061,21

O montante M₃ no final do terceiro período será dado por:

M₃ = 1.040,40 (1 + 0,02)

M₃ = 1.061,21

Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.

Fórmula do Montante a Juros Compostos

Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.

Calculemos o montante M_n no final dos n períodos utilizando o mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.

M₁ = C(1 + i)

M₂ = M₁(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)²

M₃ = M₂ (1 + i) = C(1 + i)² . (1 + i) = C(1 + i)³

Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:

M₁ = C(1 + i)

Para o montante do segundo período, encontramos:

M₂ = C(1 + i)²

Para o montante do terceiro,

M₃ = C(1 + i)³

É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:

M_n = C(1 + i)ⁿ

O fator (1 + i)ⁿ é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra a_n. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.

A fórmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo é obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:

J = M – C

J = C(1 + i)ⁿ – C

Colocando C em evidência, obtemos:

J_n = C [ (1+ i)ⁿ – 1]

Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?

Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo da matemática financeira.

Existem determinadas expressões que indicam o regime de capitalização composta, tais como:

• juros compostos

• capitalização composta

• montante composto

• taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com capitalização anual)

• taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros compostos com capitalização a cada bimestre)

A principal diferença entre o regime simples e o composto, entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos, através do enunciado do problema, o período das capitalizações. Em juros simples podíamos escolher o período de capitalização que nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros compostos não podemos fazer isso, pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.

Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.

Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Exemplos:

• dada uma taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a 4% ao mês.

• dada a taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA SEMESTRALMENTE, devemos tranformá-la em uma taxa de 24% ao semestre.

Se não houver nenhuma indicação de como a taxa deva ser capitalizada ou nenhuma referência a regime composto, presumimos que o regime de capitalização seja simples.

Exercícios resolvidos

1. Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo.

Resolução:

C = 10.000

prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal,

n = 11

i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

M = C (1 + i)ⁿ

M = 10.000 (1 + 0,05)¹¹

O problema está em calcular o fator de acumulação do capital. Não se desespere, esse valor é dado pelo examinador:

a) no início da prova; exemplo: (1,05)¹¹ = 1,7103; ou

b) por meio de uma tabela financeira, semelhante ao modelo a seguir; nessa tabela, o valor de acumulação de capital que procuramos pode ser facilmente encontrado no cruzamento da coluna i = 5% com a linha n = 11:

Voltando ao cálculo do montante:

M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais fornecidas para o fator)

M = 17.103,39

2. Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano.

Resolução:

Temos que:

C = 100

i = 60% a.a. capitalizados mensalmente

prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses

Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual mas a capitalização é mensal. Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que tenha periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos isto, como já foi dito, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Exemplo:

Se o examinador der uma taxa nominal de 36% a.a. e disser que deve ser capitalizada mensalmente, devemos determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a., ou seja, 3% a.m. – é este valor que utilizaremos na fórmula do montante composto. Se ele der a mesma taxa nominal de 36% a.a., mas disser que deve ser capitalizada semestralmente, deveremos agora calcular a taxa semestral proporcional à taxa de 36% a.a., isto é, 18% a.s.

No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal; logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i = 60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m.

Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui período diferente do da capitalização.

Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempo do período de capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres etc.

No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12.

Aparadas todas estas arestas, podemos agora calcular o montante:

M = C (1 + i)ⁿ

M = 100 (1 + 0,05)¹²

Devemos ir à tabela fornecida anteriormente, onde iremos verificar que, para i = 5% e n = 12,

(1 + 0,05)¹² = 1,795856

Logo,

M = 100 . 1,795856

M = R$ 179,59

Após ter certeza de que compreendeu os exemplos anteriores, leia as observações abaixo e reflita sobre elas.

a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de juros SIMPLES, de quanto seria o montante?

Resposta: seria de R$ 160,00.

Por quê?

Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano é dado por:

M = C (1 + in)

M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00

Por que o montante a juros compostos é maior?

Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte.

Portanto, calculamos juros sobre juros.

Para deixarmos ainda mais clara a diferença entre o regime simples e o composto, montamos a tabela abaixo, mostrando como ficam os montantes intermediários, em cada mês, de R$ 100,00 aplicados a 5% a.m., nos dois regimes:

b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.) é apenas uma taxa de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema.

A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60% a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de 79,59%.

c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também mudará.

Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRISMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que:

i = 15% a.t. = 0,15 a.t.

n = 4

O montante composto será dado por:

M = C(1 + i)ⁿ

M = 100(1 + 0,15)⁴

M = 100 x 1,749006

M = R$ 174,90

O montante foi menor porque diminuímos o número de capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a.

Exercícios resolvidos

3. Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.

Resolução:

Como capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa anual em semestral e expressar o prazo em semestres

C = 8.000

i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.

t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41

M = C (1 + i)ⁿ

M = 8.000 (1 + 0,08)⁴¹

Vamos na tabela no final deste capítulo e ... não tem n = 41. Na tabela dada, n só vai até 30. O que fazer?

Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:

(1 + 0,008)⁴¹ = (1 + 0,008)³⁰ . (1 + 0,008)¹¹

(1 + 0,008)⁴¹ = 10,06266 . 2,331639 = 23,462490

M = 8.000 . 23,462490

M = 187.699,92

Interpolação Linear

INTERPOLAÇÃO LINEAR é uma estratégia de cálculo que permite determinar, por aproximação, um valor desconhecido que se encontra entre dois valores dados. Às vezes as tabelas financeiras não fornecem o valor exato necessário para efetuar os cálculos que nos estão sendo solicitados – é ai que entra o método de interpolação linear: através dele, contornamos essa dificuldade, obtendo, mediante uma proporção simples, o valor desconhecido através de outros valores próximos, presentes na tabela.

Vejamos como se faz isto através de alguns exercícios de aplicação.

Calcular o montante o montante de um capital igual a R$ 200.000,00 aplicado a uma taxa de 14% a.a., com capitalização trimestral, durante 1 ano.

Resolução:

Observe que a capitalização é TRIMESTRAL. Logo, o prazo deve ser expresso em trimestres e a taxa anual deve ser convertida para a taxa trimestral.

C = 200.000

i = 14% a.a. (taxa nominal) => i = 3,5% a.t. (taxa proporcional)

t = 1 ano = 4 trimestres => n = 4

M = C (1 + i)ⁿ

M = 200.000 (1 + 0,035)⁴

Vamos à tabela e... não tem i = 3,5%. O que fazer?

Pense bem, você tem os fatores de acumulação de capital para 3% e para 4% na tabela. Para encontrar o fator de acumulação de 3,5%, calcule a média aritmética simples desses dois.

Parece esquisito, mas você está efetuando uma INTERPOLAÇÃO LINEAR. Estamos supondo que, uma vez que a taxa de 3,5% é equidistante aos valores 3% e 4%, o seu fator de acumulação deve ser também equidistante aos fatores de acumulação de taxas de 3% e 4%, ou seja, deve ser a média aritmética desses fatores.

Consideramos, então que: a_3,5% = a_3% + a_4%/2 , onde:

a_3,5% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3,5%

a_3% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3%

a_4% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 4%

Atenção: não efetue imediatamente as multiplicações; deixe tudo indicado pois assim você poderá simplificar as frações que forem aparecendo, diminuindo assim o trabalho de cálculo e economizando tempo. Procure se habituar a trabalhar desta maneira, porque na maioria dos concursos você não poderá utilizar máquina de calcular.

M = 200.000,00 100.000,00 . 1,125509 + 1,169859/2

M = 229.536,80

Vejamos agora como fica a interpolação quando a taxa fornecida não é mais número do tipo “inteiro mais meio” (1,5%; 2,5%; 3,5% etc.)

João toma emprestado R$ 1.000,00 e concorda em reembolsar o principal com juros de 3,6% a.a. compostos semestralmente. Quanto deve ele no fim de 4 anos?

Resolução:

Observe que a captalização é semestral

C = 1.000

i = 3,6% a.a. (taxa nominal) => i = 1,8% a.s. = 0,018 a.s. (taxa proporcional semestral)

t = 4 anos = 8 semestres => n = 8

M = 1.000 (1 + 0,018)⁸

Vamos à tabela no final deste capítulo e ... não temos i = 1,8%.

Devemos, então, fazer a interpolação linear.

Vamos pegar da tabela as taxas que se encontram imediatamente a seguir e imediatamente acima da taxa de 1,8% (1% e 2% respectivamente). Com os fatores dessas taxas para n = 8, montamos o seguinte esquema:

O Teorema de Tales, que você deve ter aprendido na 8^a série, diz que um feixe de retas ao cortar duas transversais produz segmentos proporcionais. Decorre disso que, se dividirmos, em cada reta transversal, o segmento superior pelo segmento todo, deveremos obter o mesmo resultado. Podemos, então, escrever a seguinte igualdade:

0,8/1 = x – 1,082857/0,088802

Multiplicando em cruz, obtemos:

x – 1,082857 = 0,8 . 0,088802

Resolvendo, encontramos que:

x = 1,153898

Portanto, o montante será igual a:

M = 1.000 . 1,153898

M = 1.153,89

Convenção Linear e Convenção Exponencial

Muitas vezes, em determinadas operações financeiras, o número de períodos calculados não se encaixa dentro do prazo, vindo a produzir número não inteiro de períodos. É o caso, por exemplo, de uma aplicação com capitalização anual, mas efetuada pelo prazo de 1 ano e 9 meses. Em situações como esta, devemos calcular o montante para parte inteira de períodos (1 ano) utilizando juros compostos e em seguida calcular, a partir desse montante, o montante final para a fração de período restante (9/12 de ano). A partir daí, surgem duas possibilidades de cálculo do montante para a fração do período: a convenção linear e a convenção exponencial.

CONVENÇÃO LINEAR: após calcular o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros simples, na parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator do juros simples (1 + in). No nosso exemplo, considerando uma taxa i, o montante ficaria assim:

M = C (1 + i)¹ . (1 + i . 9/12)

Já na CONVENÇÃO EXPONENCIAL, após calcularmos o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros compostos, pela parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator de juros compostos (1 + i)ⁿ. No caso do exemplo em pauta, o montante seria assim calculado:

M = C(1 + i)¹ x (1 + i)^9/12

Exercício resolvido

Calcular o montante produzido por um capital igual a 10.000, aplicado a uma taxa de 24% a.a., com capitalização trimestral, durante 4 anos e 2 meses.

Resolução:

C = 10.000

capitalização trimestral

i = 24% a.a. (taxa nominal) => i = 6% a.t.

t = 4 anos e 2 meses = 16 trimestres + 2 meses

t = 16 trimestres + 2/3 de trimestre

Sendo o prazo fracionário, podemos calcular o montante tanto pela convenção linear como pela convenção exponencial. O enunciado não especificou qual das duas deve ser utilizada. A título de ilustração efetuaremos o cálculo das duas maneiras.

Pela convenção linear

O montante composto M* relativo à parte inteira do prazo será:

M* = 10.000 (1 + 0,06)¹⁶

Consultando a tabela ao final deste capítulo, descobrimos que (1 + 0,06)¹⁶ = 2,540352. Logo,

M* = 10.000 . 2,540352

M* = 25.403,52

A partir desse resultado, vamos agora calcular o montante M para o período não inteiro, utilizando regime de juros SIMPLES:

M = C (1 + in)

M = 25.403,52 . (1 + 0,06 . 2/3)

M = 25.403,53 . (1 + 0,04)

M = 25.403,53 . (1,04)

M = 26.419,66

Pela convenção exponencial

M = 10.000 (1 + 0,06)^{16 + 2/3}

M = 10.000 (1 +0,06)¹⁶ (1 + 0,06)^2/3

M = M* (1 + 0,06)^2/3

M = 25.403,52 (1,06)^2/3

A dificuldade com que nos defrontamos agora é cálculo do termo (1,06)^2/3, que só pode ser feito com auxílio de uma calculadora (o examinador, portanto, deverá fornecê-lo na prova). Descobrimos, com a calculadora, que (1,06)^2/3 = 1,039610. Decorre que:

M = 25.403,52 . 1,039610

M = 26.409,75

Você deve ter percebido, no exercício anterior, que a diferença entre os montantes calculados por um e por outro método é pequena e que o montante pela convenção linear é maior do que montante pela convenção exponencial.

Taxas Equivalentes em Juros Compostos

Vamos recordar a definição de taxas equivalentes, fornecida anteriormente:

Duas taxas são ditas EQUIVALENTES quando, referidas a períodos distantes e aplicadas sobre o mesmo capital , no mesmo prazo, produzem montantes iguais.

Traduzindo: duas taxas são equivalentes se, no mesmo prazo, tanto faz aplicar uma ou outra sobre o capital.

No regime de JUROS SIMPLES, as taxas equivalentes são também PROPORCIONAIS. Por exemplo: a juros simples, tanto faz eu aplicar R$ 100,00 à taxa de 2% ao mês durante 1 ano ou aplicar R$ 100,00 à taxa (proporcional à anterior) de 24% ao ano durante 1 ano. Tanto num caso como no outro eu vou ganhar a mesma coisa:

No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais.

Considere a seguinte situação: um indivíduo aplicou R$ 100,00 durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalização mensal. Vamos calcular o montante produzido no final do prazo.

C = 100

capitalização mensal

i = 2% a.m. = 0,02

t = 1 ano = 12 meses => n = 12

M = C (1 + i)ⁿ

M = 100 (1 + 0,02)¹²

M = 100 . 1,268242

M = 126,82

Você percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de 126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%.

Se tivéssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada ANUALMENTE, o montante seria de:

M = C (1 + i)ⁿ

M = 100 (1 + 0,2682)¹

M = 100 . 1,2682

M = 126,82

Uma vez que os montantes são iguais, podemos concluir que a taxa de 2% ao mês é EQUIVALENTE, em juros compostos, à taxa de 26,82% ao ano.

O mais importante é notarmos que:

(1 + 0,02)¹² = (1 + 0,2682)¹

Ou seja:

Duas taxas são equivalentes quando os seus fatores de capitalização forem iguais ao mesmo prazo.

Esta é a grande dica na resolução de problemas envolvendo taxas equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas equivalentes, você impor que os fatores de capitalização sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalização simples como para o regime de capitalização composta.

De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros compostos, o montante (M) é dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalização respectivo (a_n). Considere, então, duas taxas i₁ e i₂, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M₁ e M₂. Sejam a_n,1 e a_n,2 os respectivos fatores da acumulação de capital. Se i₁ e i₂ forem EQUIVALENTES, teremos que:

M₁ = M₂

C . a_n,1 = C . a_n,2

a_n,1 = a_n,2

Ou seja, os fatores de acumulação de capital a_n,1 e a_n,2 deverão ser iguais.

Nós poderíamos ter fornecido a você uma fórmula para estabelecer diretamente a equivalência entre uma taxa e outra. Não fizemos isso porque é perfeitamente possível resolver os problemas de equivalência igualando os fatores de acumulação, e não queremos que você fique com mais uma fórmula ocupando a sua cabeça.

Exércicios resolvidos

Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% a.m. capitalizada mensalmente.

Resolução:

Se as taxas são equivalentes, seus fatores devem ser iguais no prazo de 1 ano. Segue que:

(1 + i_anual)¹ = (1 + 0,03)¹²

O expoente do fator da taxa de 3% é igual a 12 porque, em 1 ano, ocorrem 12 capitalizações mensais (a taxa é mensal). Já o expoente da taxa “i_anual” é igual a 1 porque, se a taxa é anual, em 1 ano ocorre apenas uma capitalização.

(1 + i_anual) = 1,425760

i_anual = 1,425760 – 1

i_anual = 0,425760

i_anual = 42,57% a.a.

Portanto a taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente, é equivalente à taxa de 42,57% a.a., capitalizada anualmente.

Em vez da taxa efetiva de 3% a.m., o problema poderia ter fornecido uma taxa nominal de 36% a.a. com capitalização mensal. Resolveríamos do mesmo jeito, pois a taxa nominal de 36% a.a. corresponde à taxa efetiva de 3% a.m. (basta usar o conceito de taxas proporcionais).

Nesse exemplo, podemos também dizer que uma taxa nominal de 36% a.a. produz uma TAXA EFETIVA de 42,57% a.a.

A TAXA EFETIVA é a taxa verdadeiramente paga em uma aplicação.

Calcular a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% a.a. com capitalização trimestral.

Resolução:

I_ea = taxa efetiva anual = ?

capitalização trimestral

i_n = 40% a.a. (taxa nominal) => i_ef (taxa efetiva trimestral) = 10% a.t. = 0,10 a.t.

t = 1 ano = 4 trimestres

(1 + i_ea)¹ = (1 + 0,10)⁴

1 + i_ea = 1,4641

i_ea = 0,4641

i_ea = 46,41% a.a.

Considerando-se regime de juros compostos, qual é a taxa mensal capitalizada mensalmente equivalente a uma taxa de 34% a.s.?

Resolução:

Queremos uma taxa mensal i_m que, em 6 meses, produza uma taxa de 34%.

Em 6 meses a taxa mensal terá 6 capitalizações e a taxa semestral, 1 capitalização.

34% a.s. = 0,34 a.s.

(1 + i_m)⁶ = (1 + 0,34)

(1 + i_m)⁶ = 1,34

Normalmente você deveria extrair a raiz sexta de 1,34 e isolar o i_m. Se o examinador fornecer a raiz sexta de 1,34, que é 1,04998, o cálculo torna-se fácil:

1 + i_m = 1,04998

i_m = 1,04998 – 1 = 0,04998 = 4,99% => 5%

Embora pouco provável, pode ser que, ao invés de fornecer a raiz sexta 1,34, ele dê os seguintes dados pra você:

log 1,34 = 0,12710479

10^0,02118413 = 1,04998

Este tipo de dado sugere que devemos aplicar logaritmo nos dois lados da equação anterior, para calcular o valor da taxa mensal. Ficaria assim:

log (1 + i_m)⁶ = log 1,34

6 . log (1 + i_m) = log 1,34

log (1 + i_m) = log 1,34/6

log (1 + i_m) = 0,12710479/6 = 0,02118413

(1 + i_m) = 10^0,02118413

1 + i_m = 1,04998

i_m = 0,04998 = 4,9998% = 5%

Se na prova não for fornecida tabela de logaritmo e nem for permitido o uso de máquina de calcular (e isto é o que tem ocorrido mais frequentemente), a alternativa será entrar na tabela financeira determinando qual é a taxa, para n = 6, que produziria um fator de acumulação igual 1,34. É simples. Basta seguir com os olhos a linha n = 6 e localizar a célula que contém o valor mais próximo possível de 1,34. Se você procurar, vai encontrar uma célula com o valor 1,340096, cuja taxa correspondente é de 5%. Portanto, i_m = 5% a.m.

É evidente que, neste caso, o examinador tem que dar uma mãozinha, fornecendo um fator fácil de procurar na tabela, senão fica inviável a resolução da expressão acima.