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Juros Compostos

Juros Compostos

Conceito

Antes de começarmos a estudar juros compostos, a título de comparação faremos uma pequena revisão do regime de capitalização simples. Nos capítulos anteriores, vimos que os JUROS SIMPLES apresentam as seguintes características:

1. são calculados sobre o capital inicial;

2. são diretamente proporcionais ao prazo (ou número de períodos), ao capital aplicado e à taxa de juros da aplicação;

3. são adicionados ao capital inicial no final do prazo, formando o montante.

Em suma,
Js = C.i.n
Ms = C(1 + in)

No regime de JUROS COMPOSTOS os juros são capitalizados não no final do prazo e sim no final de cada período, ou seja, o juro do primeiro período é adicionado ao capital inicial e sobre esse montante é calculado o juro do segundo período que por sua vez será adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro do período seguinte, e assim sucessivamente.

Vamos a um exemplo:

Você aplicou 1.000 em uma insituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses. Vamos calcular o montante M3 no final desse prazo.

Temos que:
C = 1.000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 3 (capitalização mensal)

Então, o montante M1 no final do primeiro período será dado por:

M1 = 1.000
M1 = 1.000 . 1,02
M1 = 1.020

O montante M2 no final do segundo período será dado por:

M2 = 1.020 (1 + 0,02)
M2 = 1061,21

O montante M3 no final do terceiro período será dado por:

M3 = 1.040,40 (1 + 0,02)
M3 = 1.061,21

Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.

Fórmula do Montante a Juros Compostos

Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.

Calculemos o montante Mn no final dos n períodos utilizando o mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.

M1 = C(1 + i)
M2 = M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2
M3 = M2 (1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3

Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:
M1 = C(1 + i)

Para o montante do segundo período, encontramos:
M2 = C(1 + i)2

Para o montante do terceiro,
M3 = C(1 +  i)3

É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:

Mn = C(1 + i)n

O fator (1 + i)n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.

A fórmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo é obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:
J = M – C
J = C(1 + i)n – C

Colocando C em evidência, obtemos:

Jn = C [ (1+ i)n – 1]

Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo da matemática financeira.

Existem determinadas expressões que indicam o regime de capitalização composta, tais como:

  • juros compostos
  • capitalização composta
  • montante composto
  • taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com capitalização anual)
  • taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros compostos com capitalização a cada bimestre)

A principal diferença entre o regime simples e o composto, entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos, através do enunciado do problema, o período das capitalizações. Em juros simples podíamos escolher o período de capitalização que nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros compostos não podemos fazer isso, pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.

Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.

Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Exemplos:

  • dada uma taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a 4% ao mês.
  • dada a taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA SEMESTRALMENTE, devemos tranformá-la em uma taxa de 24% ao semestre.

Se não houver nenhuma indicação de como a taxa deva ser capitalizada ou nenhuma referência a regime composto, presumimos que o regime de capitalização seja simples.

Exercícios resolvidos

1. Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo.

Resolução:

C = 10.000
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal,
n = 11
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

M = C (1 + i)n
M = 10.000 (1 + 0,05)11

O problema está em calcular o fator de acumulação do capital. Não se desespere, esse valor é dado pelo examinador:

a) no início da prova; exemplo: (1,05)11 = 1,7103; ou

b) por meio de uma tabela financeira, semelhante ao modelo a seguir; nessa tabela, o valor de acumulação de capital que procuramos pode ser facilmente encontrado no cruzamento da coluna i = 5% com a linha n = 11:

Voltando ao cálculo do montante:

M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais fornecidas para o fator)

M = 17.103,39

2. Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano.

Resolução:

Temos que:
C = 100
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses

Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual  mas a capitalização é mensal. Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que tenha periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos isto, como já foi dito, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Exemplo:

Se o examinador der uma taxa nominal de 36% a.a. e disser que deve ser capitalizada mensalmente, devemos determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a., ou seja, 3% a.m. – é este valor que utilizaremos na fórmula do montante composto. Se ele der a mesma taxa nominal de 36% a.a., mas disser que deve ser capitalizada semestralmente, deveremos agora calcular a taxa semestral proporcional à taxa de 36% a.a., isto é, 18% a.s.
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal; logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i = 60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m.

Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui período diferente do da capitalização.

Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempo do período de capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres etc.

No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12.

Aparadas todas estas arestas, podemos agora calcular o montante:
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,05)12

Devemos ir à tabela fornecida anteriormente, onde iremos verificar que, para i = 5% e n = 12,
(1 + 0,05)12 = 1,795856

Logo,
M = 100 . 1,795856
M = R$ 179,59

Após ter certeza de que compreendeu os exemplos anteriores, leia as observações abaixo e reflita sobre elas.

a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de juros SIMPLES, de quanto seria o montante?

Resposta: seria de R$ 160,00.

Por quê?

Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano é dado por:

M = C (1 + in)
M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00

Por que o montante a juros compostos é maior?

Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte.

Portanto, calculamos juros sobre juros.

Para deixarmos ainda mais clara a diferença entre o regime simples e o composto, montamos a tabela abaixo, mostrando como ficam os montantes intermediários, em cada mês, de R$ 100,00 aplicados a 5% a.m., nos dois regimes:

b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.) é apenas uma taxa de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema.

A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60% a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de 79,59%.

c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também mudará.

Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRISMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que:

i = 15% a.t. = 0,15 a.t.
n = 4
O montante composto será dado por:
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 0,15)4
M = 100 x 1,749006
M = R$ 174,90

O montante foi menor porque diminuímos o número de capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a.

Exercícios resolvidos

3. Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.

Resolução:

Como  capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa anual em semestral e expressar o prazo em semestres

C = 8.000
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41
M = C (1 + i)n
M = 8.000 (1 + 0,08)41

Vamos na tabela no final deste capítulo e ... não tem n = 41. Na tabela dada, n só vai até 30. O que fazer?
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:
(1 + 0,008)41 = (1 + 0,008)30 . (1 + 0,008)11
(1 + 0,008)41 = 10,06266 . 2,331639 = 23,462490
M = 8.000 . 23,462490

M = 187.699,92

Interpolação Linear

INTERPOLAÇÃO LINEAR é uma estratégia de cálculo que permite determinar, por aproximação, um valor desconhecido que se encontra entre dois valores dados. Às vezes as tabelas financeiras não fornecem o valor exato necessário para efetuar os cálculos que nos estão sendo solicitados – é ai que entra o método de interpolação linear: através dele, contornamos essa dificuldade, obtendo, mediante uma proporção simples, o valor desconhecido através de outros valores próximos, presentes na tabela.
Vejamos como se faz isto através de alguns exercícios de aplicação.

 Calcular o montante o montante de um capital igual a R$ 200.000,00 aplicado a uma taxa de 14% a.a., com capitalização trimestral, durante 1 ano.

Resolução:

Observe que a capitalização é TRIMESTRAL. Logo, o prazo deve ser expresso em trimestres e a taxa anual deve ser convertida para a taxa trimestral.
C = 200.000
i = 14% a.a. (taxa nominal) => i = 3,5% a.t. (taxa proporcional)
t = 1 ano = 4 trimestres => n = 4
M = C (1 + i)n
M = 200.000 (1 + 0,035)4

Vamos à tabela e... não tem i = 3,5%. O que fazer?

Pense bem, você tem os fatores de acumulação de capital para 3% e para 4% na tabela. Para encontrar o fator de acumulação de 3,5%, calcule a média aritmética simples desses dois.

Parece esquisito, mas você está efetuando uma INTERPOLAÇÃO LINEAR. Estamos supondo que, uma vez que a taxa de 3,5% é equidistante aos valores 3% e 4%, o seu fator de acumulação deve ser também equidistante aos fatores de acumulação de taxas de 3% e 4%, ou seja, deve ser a média aritmética desses fatores.

Consideramos, então que: a3,5% = a3% + a4%/2 , onde:

a3,5% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3,5%
a3% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3%
a4% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 4%

Atenção: não efetue imediatamente as multiplicações; deixe tudo indicado pois assim você poderá simplificar as frações que forem aparecendo, diminuindo assim o trabalho de cálculo e economizando tempo. Procure se habituar a trabalhar desta maneira, porque na maioria dos concursos você não poderá utilizar máquina de calcular.

M = 200.000,00 100.000,00 . 1,125509 + 1,169859/2

M = 229.536,80

Vejamos agora como fica a interpolação quando a taxa fornecida não é mais número  do tipo “inteiro mais meio” (1,5%; 2,5%; 3,5% etc.)

João toma emprestado R$ 1.000,00 e concorda em reembolsar o principal com juros de 3,6% a.a. compostos semestralmente. Quanto deve ele no fim de 4 anos?

Resolução:

Observe que a captalização é semestral
C = 1.000
i = 3,6% a.a. (taxa nominal) => i = 1,8% a.s. = 0,018 a.s. (taxa proporcional semestral)
t = 4 anos = 8 semestres => n = 8
M = 1.000 (1 + 0,018)8

Vamos à tabela no final deste capítulo e ... não temos i = 1,8%.

Devemos, então, fazer a interpolação linear.
Vamos pegar da tabela as taxas que se encontram imediatamente a seguir e imediatamente acima da taxa de 1,8% (1% e 2% respectivamente). Com os fatores dessas taxas para n = 8, montamos o seguinte esquema:

O Teorema de Tales, que você deve ter aprendido na 8a série, diz que um feixe de retas ao cortar duas transversais produz segmentos proporcionais. Decorre disso que, se dividirmos, em cada reta transversal, o segmento superior pelo segmento todo, deveremos obter o mesmo resultado. Podemos, então, escrever a seguinte igualdade:

0,8/1 = x – 1,082857/0,088802

Multiplicando em cruz, obtemos:
x – 1,082857 = 0,8 . 0,088802
Resolvendo, encontramos que:
x = 1,153898

Portanto, o montante será igual a:
M = 1.000 . 1,153898
M = 1.153,89

Convenção Linear e Convenção Exponencial

Muitas vezes, em determinadas operações financeiras, o número de períodos calculados não se encaixa dentro do prazo, vindo a produzir número não inteiro de períodos. É o caso, por exemplo, de uma aplicação com capitalização anual, mas efetuada pelo prazo de 1 ano e 9 meses. Em situações como esta, devemos calcular o montante para parte inteira de períodos (1 ano) utilizando juros compostos e em seguida calcular, a partir desse montante, o montante final para a fração de período restante (9/12 de ano). A partir daí, surgem duas possibilidades de cálculo do montante para a fração do período: a convenção linear e a convenção exponencial.

CONVENÇÃO LINEAR: após calcular o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros simples, na parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator do juros simples (1 + in). No nosso exemplo, considerando uma taxa i, o montante ficaria assim:

M = C (1 + i)1 . (1 + i . 9/12)

Já na CONVENÇÃO EXPONENCIAL, após calcularmos o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros compostos, pela parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator de juros compostos (1 + i)n. No caso do exemplo em pauta, o montante seria assim calculado:

M = C(1 + i)1 x (1 + i)9/12

Exercício resolvido

Calcular o montante produzido por um capital igual a 10.000, aplicado a uma taxa de 24% a.a., com capitalização trimestral, durante 4 anos e 2 meses.

Resolução:

C = 10.000
capitalização trimestral
i = 24% a.a. (taxa nominal) => i = 6% a.t.
t = 4 anos e 2 meses = 16 trimestres + 2 meses
t = 16 trimestres + 2/3 de trimestre

Sendo o prazo fracionário, podemos calcular o montante tanto pela convenção linear como pela convenção exponencial. O enunciado não especificou qual das duas deve ser utilizada. A título de ilustração efetuaremos o cálculo das duas maneiras.

Pela convenção linear
O montante composto M* relativo à parte inteira do prazo será:
M* = 10.000 (1 + 0,06)16
Consultando a tabela ao final deste capítulo, descobrimos que (1 + 0,06)16 = 2,540352. Logo,
M* = 10.000 . 2,540352
M* = 25.403,52
A partir desse resultado, vamos agora calcular o montante M para o período não inteiro, utilizando regime de juros SIMPLES:
M = C (1 + in)

M = 25.403,52 . (1 + 0,06 . 2/3)

M = 25.403,53 . (1 + 0,04)
M = 25.403,53 . (1,04)
M = 26.419,66

Pela convenção exponencial

M = 10.000 (1 + 0,06)16 + 2/3
M = 10.000 (1 +0,06)16 (1 + 0,06)2/3
M = M* (1 + 0,06)2/3
M = 25.403,52 (1,06)2/3
A dificuldade com que nos defrontamos agora é cálculo do termo (1,06)2/3, que só pode ser feito com auxílio de uma calculadora (o examinador, portanto, deverá fornecê-lo na prova). Descobrimos, com a calculadora, que (1,06)2/3 = 1,039610. Decorre que:
M = 25.403,52 . 1,039610
M = 26.409,75

Você deve ter percebido, no exercício anterior, que a diferença entre os montantes calculados por um e por outro método é pequena e que o montante pela convenção linear é maior do que montante pela convenção exponencial.

Taxas Equivalentes em Juros Compostos

Vamos recordar a definição de taxas equivalentes, fornecida anteriormente:

Duas taxas são ditas EQUIVALENTES quando, referidas a períodos distantes e aplicadas sobre o mesmo capital , no mesmo prazo, produzem montantes iguais.

Traduzindo: duas taxas são equivalentes se, no mesmo prazo, tanto faz aplicar uma ou outra sobre o capital.

No regime de JUROS SIMPLES, as taxas equivalentes são também PROPORCIONAIS. Por exemplo: a juros simples, tanto faz eu aplicar R$ 100,00 à taxa de 2% ao mês durante 1 ano ou aplicar R$ 100,00 à taxa (proporcional à anterior) de 24% ao ano durante 1 ano. Tanto num caso como no outro eu vou ganhar a mesma coisa: 

No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais.

Considere a seguinte situação: um indivíduo aplicou R$ 100,00 durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalização mensal. Vamos calcular o montante produzido no final do prazo.

C = 100
capitalização mensal
i = 2% a.m. = 0,02
t = 1 ano = 12 meses => n = 12

M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,02)12
M = 100 . 1,268242
M = 126,82

Você percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de 126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%.

Se tivéssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada ANUALMENTE, o montante seria de:
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,2682)1
M = 100 . 1,2682
M = 126,82

Uma vez que os montantes são iguais, podemos concluir que a taxa de 2% ao mês é EQUIVALENTE, em juros compostos, à taxa de 26,82% ao ano.

O mais importante é notarmos que:
(1 + 0,02)12 = (1 + 0,2682)1

Ou seja:

Duas taxas são equivalentes quando os seus fatores de capitalização forem iguais ao mesmo prazo.

Esta é a grande dica na resolução de problemas envolvendo taxas equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas equivalentes, você impor que os fatores de capitalização sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalização simples como para o regime de capitalização composta.

De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros compostos, o montante (M) é dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalização respectivo (an). Considere, então, duas taxas i1 e i2, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M1 e M2. Sejam an,1 e an,2 os respectivos fatores da acumulação de capital. Se i1 e i2 forem EQUIVALENTES, teremos que:

M1 = M2
C . an,1 = C . an,2

an,1 = an,2

Ou seja, os fatores de acumulação de capital an,1 e an,2 deverão ser iguais.

Nós poderíamos ter fornecido a você uma fórmula para estabelecer diretamente a equivalência entre uma taxa e outra. Não fizemos isso porque é perfeitamente possível resolver os problemas de equivalência igualando os fatores de acumulação, e não queremos que você fique com mais uma fórmula ocupando a sua cabeça.

Exércicios resolvidos

Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% a.m. capitalizada mensalmente.

Resolução:

Se as taxas são equivalentes, seus fatores devem ser iguais no prazo de 1 ano. Segue que:
(1 + ianual)1 = (1 + 0,03)12

O expoente do fator da taxa de 3% é igual a 12 porque, em 1 ano, ocorrem 12 capitalizações mensais (a taxa é mensal). Já o expoente da taxa “ianual” é igual a 1 porque, se a taxa é anual, em 1 ano ocorre apenas uma capitalização.

(1 + ianual) = 1,425760
ianual = 1,425760 – 1
ianual = 0,425760
ianual = 42,57% a.a.

Portanto a taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente, é equivalente à taxa de 42,57% a.a., capitalizada anualmente.

Em vez da taxa efetiva de 3% a.m., o problema poderia ter fornecido uma taxa nominal de 36% a.a. com capitalização mensal. Resolveríamos do mesmo jeito, pois a taxa nominal de 36% a.a. corresponde à taxa efetiva de 3% a.m. (basta usar o conceito de taxas proporcionais).

Nesse exemplo, podemos também dizer que uma taxa nominal de 36% a.a. produz uma TAXA EFETIVA de 42,57% a.a.

A TAXA EFETIVA é a taxa verdadeiramente paga em uma aplicação.

Calcular a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% a.a. com capitalização trimestral.

Resolução:

Iea = taxa efetiva anual = ?
capitalização trimestral
in = 40% a.a. (taxa nominal) => ief (taxa efetiva trimestral) = 10% a.t. = 0,10 a.t.
t = 1 ano = 4 trimestres

(1 + iea)1 = (1 + 0,10)4
1 + iea = 1,4641
iea = 0,4641
iea = 46,41% a.a.

Considerando-se regime de juros compostos, qual é a taxa mensal capitalizada mensalmente equivalente a uma taxa de 34% a.s.?

Resolução:

Queremos uma taxa mensal im que, em 6 meses, produza uma taxa de 34%.

Em 6 meses a taxa mensal terá 6 capitalizações e a taxa semestral, 1 capitalização.

34% a.s. = 0,34 a.s.

(1 + im)6 = (1 + 0,34)
(1 + im)6 = 1,34

Normalmente você deveria extrair a raiz sexta de 1,34 e isolar o im. Se o examinador fornecer a raiz sexta de 1,34, que é 1,04998, o cálculo torna-se fácil:
1 + im = 1,04998
im = 1,04998 – 1 = 0,04998 = 4,99% => 5%

Embora pouco provável, pode ser que, ao invés de fornecer a raiz sexta 1,34, ele dê os seguintes dados pra você:
log 1,34 = 0,12710479
100,02118413 = 1,04998

Este tipo de dado sugere que devemos aplicar logaritmo nos dois lados da equação anterior, para calcular o valor da taxa mensal. Ficaria assim:
log (1 + im)6 = log 1,34
6 . log (1 + im) = log 1,34
log (1 + im) = log 1,34/6
log (1 + im) = 0,12710479/6 = 0,02118413
(1 + im) = 100,02118413
1 + im = 1,04998
im = 0,04998 = 4,9998% = 5%

Se na prova não for fornecida tabela de logaritmo e nem for permitido o uso de máquina de calcular (e isto é o que tem ocorrido mais frequentemente), a alternativa será entrar na tabela financeira determinando qual é a taxa, para n = 6, que produziria um fator de acumulação igual 1,34. É simples. Basta seguir com os olhos a linha n = 6 e localizar a célula que contém o valor mais próximo possível de 1,34. Se você procurar, vai encontrar uma célula com o valor 1,340096, cuja taxa correspondente é de 5%. Portanto, im = 5% a.m.

É evidente que, neste caso, o examinador tem que dar uma mãozinha, fornecendo um fator fácil de procurar na tabela, senão fica inviável a resolução da expressão acima.

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