Conceito
Antes de iniciarmos o estudo do desconto simples vamos conceituar: NOTA PROMISSÓRIA, LETRA DE CÂMBIO e DUPLICATA.
Tais instrumentos jurídicos são denominados TÍTULOS DE CRÉDITO.
De maneira simples podemos dizer que o TÍTULO DE CRÉDITO é um papel
que documenta um compromisso ou uma dívida a ser paga no futuro.
Nota promissória
É um título onde uma pessoa confessa que deve a outra uma certa
importância a ser paga em determinado local, numa determinada data.
A pessoa que se confessa devedora é chamada de EMITENTE, pois é ela
quem emite o documento. A pessoa a quem esse documento é dirigido (a que
deve receber a dívida) é chamada de CREDOR ou TOMADOR ou BENEFICIÁRIO. A
data marcada para o pagamento é chamada de DATA DE VENCIMENTO e o valor
a ser pago na data do vencimento é chamado de VALOR NOMINAL do
compromisso. O valor nominal é sempre o montante do valor que foi
emprestado.
Por exemplo: você pediu R$ 5.000 emprestados no banco, para pagar daqui a 6 meses, a uma taxa de 2%a.m., a juros simples.
O gerente então irá calcular qual o montante a ser pago daqui a 6 meses:
M = C (1 + in)
M = 5.000 (1 + 0,02 . 6)
M = 5.600
Pronto: você emitirá um nota promissória no valor nominal de R$
5.600. Nela deve constar além do valor, o nome do emitente com a
assinatura (no caso, você), o nome do benefíciário (no caso, o banco) e a
data do vencimento.
Letra de câmbio
É um título pelo qual uma pessoa ordena a outra que pague a um terceiro uma certa quantia em determinada época.
Chama-se SACADOR a pessoa que ordena o pagamento e SACADO a pessoa a
quem é dirigida essa ordem. BENEFICIÁRIO ou TOMADOR é a pessoa que irá
receber o valor grafado na letra de câmbio.
Da mesma forma que na nota promissória, o valor grafado na letra de
câmbio é chamado de VALOR NOMINAL e a data que deve ser resgatada é
chamda de DATA DE VENCIMENTO.
Quanto a letra de câmbio mencionar o nome do beneficiário, ela é
NOMINATIVA; caso contrário, será AO PORTADOR. No Brasil, todavia,
títulos de crédito ao portador não existem mais em razão da proibição
imposta pela Lei 8021/90; assim, a letra de câmbio aqui só podera ser
nominativa.
Para quem não está acostumado às transações financeiras, parece
esquisita uma operação envolvendo três pessoas (sacado, sacador e
beneficiário). A letra de câmbio, porém, foi criada com a finalidade de
facilitar o comércio. Normalmente, ela é emitida quando uma pessoa (o
sacador) é, ao mesmo tempo, credora de outra (o sacado) e devedora de
um terceiro (o beneficiário). Por exemplo: João me deve R$ 500,00 e eu
devo R$ 500,00 para Francisco; então eu emito uma letra de câmbio
ordenado a João que pague R$ 500,00 para Francisco, e mato dois coelhos
com uma cajadada só: com um único documento, liquido a dívida de João
para comigo e liquido a minha dívida com Francisco. Para a letra de
câmbio que eu emiti valer, porém, ela deverá conter a assinatura de
João, aceitando pagá-la. Na letra de câmbio, portanto, deve constar o
ACEITE do sacado, que é o reconhecimento do compromisso de atendê-la.
A letra de câmbio pode ser negociada (transferida) de beneficiário para beneficiário, mediante endosso nominativo.
Duplicata
É um título de crédito que só existe no Brasil, estritamente utilizado em operações de compra e venda de mercadorias.
O comerciante (EMITENTE), ao vender uma mercadoria a prazo, emite uma
duplicata na qual consta o nome do cliente devedor (SACADO), o valor
nominal e a data de vencimento, além de outros dados. Após a emissão da
duplicata, o cliente deverá assiná-la, isto é, dar o seu ACEITE, que
garantirá ao comerciante o recebimento do valor da venda em questão.
A duplicata deve estar associada a uma nota fiscal ou fatura, na qual
o vendedor especifica a natureza e a qualidade dos artigos adquiridos
pelo comprador, seus respectivos preços, descontos etc., e a importância
líquida a ser paga.
A Operação de Desconto Simples
Os títulos descritos acima podem ser negociados pelo seu possuidor
antes da data do seu vencimento. Por exemplo, um comerciante, de posse
de uma nota promissória ou duplicata no valor de R$ 1.000,00 e que irá
vencer daqui a 6 meses, necessitando de dinheiro, pode transferi-la a um
banco mediante uma operação denominada DESCONTO. O banco irá “comprar”
este título e se encarregará de cobrá-lo de quem se confessa devedor, na
data do vencimento. Para o comerciante, é como se o pagamento da dívida
tivesse sido ANTECIPADO em nome de PRAZO DE ANTECIPAÇÃO. O valor pago
pelo banco na data do desconto é chamado de VALOR ATUAL (Va)
ou VALOR DESCONTADO e o seu cálculo será feito a partir do VALOR NOMINAL
(N) ou VALOR DE FACE do título. É evidente que o valor atual é menor do
que o valor nominal, pois, teoricamente, deveríamos retirar o juro
relativo ao prazo de antecipação; iremos chamar esse juro de DESCONTO
(D). A diferença entre o VALOR NOMINAL (N) e o DESCONTO (D) é igual ao
VALOR ATUAL (Va).
Va = N – D
Existem duas convenções para o cálculo do desconto simples. D e o valor atual Va ,
cada uma conduzindo a um resultado diferente: podemos utilizar o
conceito de DESCONTO RACIONAL (também chamado de DESCONTO POR DENTRO) ou
o conceito de DESCONTO COMERCIAL (também chamado de DESCONTO POR FORA).
Dica: para guardar essas diferentes nomenclaturas, pense no exemplo do livro: a parte racional é o seu conteúdo, ou seja, o que está dentro; a parte comercial, responsável pela propaganda desse tipo de produto e que induz as pessoas a comprá-lo, é a sua capa, que está fora. Em suma, racional = dentro; comercial = fora.
Desconto Racional ou Por Dentro
Observe atentamente o esquema acima, mais simplificado, onde estão
representados o valor nominal e o atual na operação de desconto.
No DESCONTO RACIONAL simples, o valor atual (Va)
corresponde a um capital (C), aplicado a juros simples, pelo prazo de
antecipação, e o valor nominal (N) corresponde ao montante (M) produzido
por essa aplicação.
Vimos que a fórmula do montante a juros simples é dada por:
M = C(1 + in)
Substituindo M por N, e C por Va , obtemos:
N = Va (1 + in)
Isolando Va , temos:
Va = N/1 + in
Esta última fórmula permite calcular o VALOR DESCONTADO racional simples do título (Va)
a partir do seu VALOR DE FACE (N), da taxa de desconto (i) e do número
de períodos de antecipação (n). E para calcular o desconto racional
simples, basta fazer D = N – Va.
Vejamos um exemplo concreto.
Possuo uma nota promissória com o valor nominal de R$ 440,00 que vai
vencer dentro de dois meses, mas preciso de dinheiro agora e por isso
resolvo descontá-la. Vou até um banco para que ele me antecipe o
pagamento dessa nota promissória. O valor pago pelo banco será igual ao
valor atual do documento e poderá ser calculado utilizando-se a fórmula
acima.
Suponhamos que a taxa de juros adotada pelo banco seja de 5% a.m., temos então que:
N = 440
i = 5% a.m.
n = 2 meses
Aplicando-se a fórmula do valor atual, temos:
Va = 440/1 + 0,05 . 2 = 440/1,10 = 400
Conclusão: receberei do banco a quantia de R$ 400,00 pela venda de um
título de valor nominal igual a R$ 440,00, resgatável somente daqui a 2
meses.
Na realidade, ao efetuar o desconto racional simples, o que o banco
está fazendo é me emprestar R$ 400,00 durante 2 meses a uma taxa de
juros simples de 5% ao mês.
Para demonstrar isto, vamos considerar um capital de R$ 400,00 aplicado durante 2 meses a uma taxa de juros simples de 5% a.m.
Pela fórmula do montante, teríamos que:
M = C(1 + in)
M = 400 (1 + 0,05 . 2)
M = 400 (1,1)
M = 440
Veja que, embora o valor nominal da nota promissória fosse de R$
440,00, eu só consegui “vendê-la” ao banco por R$ 400,00. Este é o VALOR
ATUAL da nota promissória (Va), o quanto ela vale HOJE. Da
mesma forma, o valor nominal (N) de R$ 440,00 que somente verificar-se-à
daqui a dois meses, pode ser designado como sendo seu VALOR FUTURO. A
diferença entre o valor atual e o valor futuro (ou valor nominal) da
nota promissória é o DESCONTO (D) efetuado pelo banco: R$ 40,00. E a
taxa de juros utilizado para o cálculo é chamada de TAXA DE DESCONTO
(i).
Em suma, em termos de fórmulas, o cálculo do desconto racional é
feito como segue (para indicar que o critério do cálculo do desconto é
racional simples, vamos utilizar os subíndices rs).
Sendo N = Vars (1 + in), decorre que
Vars = N/1 +in
onde
- Vars é o valor atual racional simples
- N é o valor nominal do título de crédito
- i é a taxa de desconto
- n é o número de períodos antecipados
E para calcularmos o desconto racional simples (Drs) basta utilizar a fórmula geral do desconto:
Drs = N - Vars
Exercício resolvido
- Considere um título com valor nominal de R$ 1,000, com prazo de
vencimento para daqui a 6 meses. Supondo uma taxa de desconto de 5%
a.m., qual seria o valor atual racional simples? Qual o valor do
desconto respectivo?
Resolução:
N = R$ 1.000
n = 6 meses
i = 5% a.m.
Vars = ?
Vars = N/1 + in = 1000/1 + 0,05 . 6 = 1000/1,3
Vars = 769,23
Drs = N – Vars = 1.000 – 769,23
Drs = 230,77
Verifique que se aplicarmos um capital igual a R$ 769,23 durante 6
meses, a uma taxa de juros simples igual a 5% a.m., o montante ao final
dos 6 meses será igual a R$ 1.000,00
Desconto Comercial ou Por Fora
O desconto comercial tem estrutura de cálculo mais simples do que a
do desconto racional, sendo amplamente adotado no Brasil, sobretudo em
operações de crédito bancário a curto prazo.
No tópico anterior, quando utilizamos o desconto racional simples,
primeiro calculamos o valor atual e depois o desconto. No caso do
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (Dcs) devemos calcular, primeiramente, o desconto, e depois o valor atual.
O desconto comercial simples nada mais é do que os juros que seriam
produzidos pelo valor nominal se ele fosse aplicado pelo prazo de
antecipação, à taxa do desconto dada. Sendo assim:
Dcs = N . i . n
Como dissemos anteriormente e como você pode constatar pela fórmula
acima, o desconto comercial incide sobre o valor nominal do título. Em
cima desse falor aplicamos a taxa desconto e multiplicamos pelo número
de períodos do prazo de antecipação.
Para calcular o VALOR ATUAL COMERCIAL SIMPLES (Vacs), é só utilizar a fórmula geral do desconto:
D = Va – N
Dcs = Vacs – N
Vacs = N - Dcs
Substituindo, na equação acima, Dcs por N. i . n, temos:
Vacs = N – N . i . n
No lado direito da igualdade aparece o fator comum N, que pode ser
colocado em evidência, fornecendo a fórmula para o cálculo direto do
valor atual comercial simples:
Vacs = N(1 – in)
Utilizando o desconto comercial simples, vamos analisar como ficaria o
desconto da nota promissória de R$ 440,00 mencionada anteriormente. O
prazo de antecipação era de 2 meses e a taxa de desconto, 5% ao mês.
Teríamos então que:
Dcs = Nin
Dcs = 440 . 0,05 . 2
Dcs = 44
Vacs = N – Dcs = 440 – 44 = 396
ou utilizando a fórmula que nos fornece diretamente o valor atual:
Vacs = N(1 – in)
Vacs = 440(1 – 0,05 . 2) = 440 . 0,90 = 396
Vimos anteriormente que pelo critério de desconto racional simples eu
receberia, pela nota promissória entregue ao banco, o valor de R$
400,00 correspondente a um desconto de R$ 40,00; agora, pelo critério de
desconto comercial simples, recebo R$ 396,00, correspondente a um
desconto de R$ 44,00. Podemos perceber, então, que
Para a mesma taxa e mesmo prazo de antecipação, o desconto comercial é maior que o desconto racional.
Exercícios resolvidos
2. Para pagamento à vista de um título que vence em 90 dias, um banco
oferece 10% de desconto no seu valor nominal. A taxa de desconto
racional simples mensal adotada pelo banco foi de aproximadamente:
Resolução:
Considerando desconto racional temos que:
n = 3 meses
Drs = 10% de N = 0,10N
Como Vars = N – Drs , temos que Vars = N – 0,10N = 0,90N
Mas Vars = N/1 + in
N/1 + in = 0,90N
1/1 + i . 3 = 0,90
1 = 0,90 (1 + i . 3)
1 = 0,90 + 2,7i
i = 0,10/2,7 = 0,03703
i = 3,70%
3. Uma pessoa tomou emprestados R$ 10.000,00 mediante assinatura de
promissória a pagar após um ano, tendo sido contratada uma taxa de juros
simples de 25% a.a. Quatro meses antes do vencimento, o devedor
resolveu resgatar o título, contanto que fosse efetuado desconto
comercial simples à taxa então vigente no mercado de 28% a.a. O valor
líquido que o devedor se propõe a pagar, em R$, seria de:
Resolução:
Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal (N) da nota
promissória. Esse valor é o montante que resultaria de R$ 10.000,00
aplicados a 25% a.a. durante 1 ano. Assim,
M = ?
C = 10.000
i = 25% a.a.
n = 1 ano
M = C(1 + in)
M = 10.000 (1 + 0,25 . 1)
M = 10.000 (1,25)
M = 12.500
O valor nominal ou valor de face (N) da nota promissória, portanto, é
R$ 12.500,00. Vamos calcular o desconto comercial considerando a taxa
de desconto de 28% a.a. Sendo a taxa de desconto anual,
precisaremos expressar a antecipação de 4 meses em anos: 4 meses = 1/3
de ano. Segue que n = 1/3. Uma vez que o desconto é comercial, ele será
calculado sobre o valor nominal:
Dcs = N. i .n
Dcs = 12.500 . 0,28 . 1/3
Dcs = 1.166,66
Vacs = N – Dcs
Vacs = 12.500 – 1.166,66
Vacs = 11.333,34
Desconto Bancário
É o DESCONTO COMERCIAL acrescido de uma TAXA DE DESPESAS BANCÁRIAS, aplicada sobre o valor nominal.
A taxa de despesas bancárias está relacionada com a as despesas
administrativas do banco, necessárias para efetuar a operação (papel,
funcionário, energia elétrica, telefone, correio etc.)
Iremos chamar de “h” a taxa de despesas bancárias. Sendo assim, o desconto bancário ficará:
Db = Nin + Nh
Colocando N em evidência, temos:
Db = N (in + h)
Relações Entre o Desconto Racional e o Desconto Comercial
Conforme vimos anteriormente, o desconto comercial simples (Dcs) é igual aos juros produzidos pelo valor nominal (N). Já o desconto racional simples (Drs) é igual aos juros produzidos pelo valor atual racional simples (Vars).
Decorre que para uma mesma taxa de desconto e mesmo prazo de
antecipação o desconto comercial é maior que o desconto racional, pois a
base de cálculo do primeiro (valor nominal) é maior que a base de
cálculo do segundo (valor atual).
Podemos demonstrar as relações acima matematicamente.
No desconto racional simples, nós vimos que:
Vars = N/(1 + in) (I)
e que
Drs = N - Vars (II)
Vamos substituir (I) em (II):
Drs = N – N/(1 + in)
Colocando tudo sobre sobre o mesmo denominador:
Drs = N + Nin – N/(1 + in)
Desenvolvendo, fica:
Drs = Nin/(1 + in) = Dcs/(1 + in)
Decorre que:
Dcs = Drs (1 + in)
Vamos que o desconto comercial simples nada mais é do que o desconto
racional simples multiplicado pelo fator de acumulação de capital. Em
outras palavras, poderíamos dizer que o desconto comercial seria o
montante originado de um capital igual ao desconto racional, aplicado no
período e à taxa de desconto dados.
Voltemos à formula Dcs = Drs (1 + in). Aplicando a propriedade distributiva, teremos:
Dcs = Drs + Drs in
Passando o termo Drs para o lado esquerdo do sinal de igual, chegaremos ao seguinte resultado:
Dcs – Drs = Drs in
Vemos então que a diferença entre os descontos comercial e racional é igual ao juro simples do desconto racional.
Exercício resolvido
(FTE/91) A diferença entre o desconto comercial e o racional de um
título emitido a 150 dias de prazo, à taxa de desconto de 2% a.m., é de $
1.200,00. Calcular o valor nominal do título.
Resolução:
Temos que:
Dcs – Drs = 1.200
n = 5 meses
i = 2% a.m.
N = ?
Dcs – Drs = Drsin
1.200 = Drs . 0,02 .5
Drs = 1.200 / 0,1 = 12.000
Dcs – Drs = 1.200
Dcs = 1.200 + 12.000
Dcs = 13.200
Mas Dcs = 13.200 = N.i.n
N . 0,02 . 5 = 13.200
N = 13.200 / 0,1 = 132.000
N = $ 132.00,00
Taxa Efetiva de Desconto
TAXA EFETIVA (ief) de desconto é a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado do título, produz montante igual ao seu valor nominal.
Com relação à definição acima, cabem duas observações:
1. a definição de taxa efetiva coincide com a de taxa de desconto
racional; portanto, quando estivermos trabalhando com DESCONTO RACIONAL ,
a taxa efetiva (ief) será a própria taxa de desconto racional (ir);
2. quando estivermos trabalhando com DESCONTO COMERCIAL, a taxa efetiva (ief) será MAIOR do que a taxa de desconto comercial (ic);
no caso, corresponderá à taxa de juros que, aplicada sobre o valor
atual COMERCIAL simples, produz, no final do prazo de antecipação,
montante de valor idêntico ao valor nominal do título.
Exercício resolvido
Uma duplicata de valor nominal R$ 1.000, com vencimento para daqui a 4
meses, foi descontada à taxa de desconto comercial simples de 5% a.m.
Determine o valor da taxa efetiva de desconto.
Resolução:
Dados:
N = 1.000
ic = 5% a.m. = 0,05 a.m.
n = 4
Inicialmente calcularemos o valor atual comercial simples da duplicata (Vacs):
Vacs = N(1 – ic . n) (Equação I)
Vacs = 1.000 (1 – 0,05 . 4)
Vacs = 1.000 (0,08)
Vacs = 800
Capitalizando-se esse valor durante 4 meses, à taxa efetiva ief que queremos calcular, deveremos obter como montante o valor nominal R$ 1.000. Partindo da fórmula do montante simples, temos:
M = C(1 + in)
A expressão acima, transcrita nos termos do problema proposto, fica assim:
N = Vacs (1 + in) (Equação II)
Substituindo as letras dessa fórmula pelos valores numéricos do problema, obtemos:
1.000 = 800 (1 + ief . 4)
1.000/800 = 1 + ief . 4
1,25 = 1 + ief . 4
0,25 = ief . 4
Ief = 0,25/4 = 0,0625 = 6,25% a.m.
Conclusão: para uma taxa de desconto comercial simples igual a 5% a.m., a taxa efetiva de desconto é de 6,25% a.m.
Se, em vez de desconto comercial, utilizássemos desconto racional, a taxa efetiva seria a própria taxa de desconto.
Existe uam fórmula que nos fornece a relação entre a taxa de desconto
comercial e a taxa efetiva. Para chegar a ela, basta conjugar as
equações I e II marcadas no exercício resolvido acima, desenvolver a
equação resultante, simplificá-la e isolar a incógnita ief. Você obterá a seguinte expressão:
ief = ic/1 – ic . n
Na fórmula acima,
ief = taxa de desconto efetiva;
ic = taxa de desconto comercial;
n = número de períodos de antecipação.
Observe que, na fórmula dada, não aparece N. Assim, para calcular o
valor da taxa efetiva de desconto de um título, não é necessário saber o
seu valor nominal. Basta saber a taxa de desconto comercial e o número
de períodos de antecipação.
Exercício resolvido
Uma duplicata com vencimento para daqui a 4 meses, foi descontada à
taxa de desconto comercial de 5% a.m. Determine o valor de taxa efetiva
de desconto.
Resolução:
ic = 5% a.m. = 0,05 a.m.
n = 4m.
ief = ?
ief = ic/1 – ic. n = 0,05/1 – 0,05 . 4 = 0,0625 = 6,25% a.m.
O resultado obtido é idêntico ao do problema anterior porque, na
realidade é o mesmo problema. A única diferença é que, neste último, não
foi fornecido o valor nominal do título, dado irrelevante para o
cálculo da taxa efetiva de desconto.