Conceito

Antes de iniciarmos o estudo do desconto simples vamos conceituar: NOTA PROMISSÓRIA, LETRA DE CÂMBIO e DUPLICATA.

Tais instrumentos jurídicos são denominados TÍTULOS DE CRÉDITO.

De maneira simples podemos dizer que o TÍTULO DE CRÉDITO é um papel que documenta um compromisso ou uma dívida a ser paga no futuro.

Nota promissória

É um título onde uma pessoa confessa que deve a outra uma certa importância a ser paga em determinado local, numa determinada data.

A pessoa que se confessa devedora é chamada de EMITENTE, pois é ela quem emite o documento. A pessoa a quem esse documento é dirigido (a que deve receber a dívida) é chamada de CREDOR ou TOMADOR ou BENEFICIÁRIO. A data marcada para o pagamento é chamada de DATA DE VENCIMENTO e o valor a ser pago na data do vencimento é chamado de VALOR NOMINAL do compromisso. O valor nominal é sempre o montante do valor que foi emprestado.

Por exemplo: você pediu R$ 5.000 emprestados no banco, para pagar daqui a 6 meses, a uma taxa de 2%a.m., a juros simples.
O gerente então irá calcular qual o montante a ser pago daqui a 6 meses:
M = C (1 + in)
M = 5.000 (1 + 0,02 . 6)
M = 5.600

Pronto: você emitirá um nota promissória no valor nominal de R$ 5.600. Nela deve constar além do valor, o nome do emitente com a assinatura (no caso, você), o nome do benefíciário (no caso, o banco) e a data do vencimento.

Letra de câmbio

É um título pelo qual uma pessoa ordena a outra que pague a um terceiro uma certa quantia em determinada época.

Chama-se SACADOR a pessoa que ordena o pagamento e SACADO a pessoa a quem é dirigida essa ordem. BENEFICIÁRIO ou TOMADOR é a pessoa que irá receber o valor grafado na letra de câmbio.

Da mesma forma que na nota promissória, o valor grafado na letra de câmbio é chamado de VALOR NOMINAL e a data que deve ser resgatada é chamda de DATA DE VENCIMENTO.

Quanto a letra de câmbio mencionar o nome do beneficiário, ela é NOMINATIVA; caso contrário, será AO PORTADOR. No Brasil, todavia, títulos de crédito ao portador não existem mais em razão da proibição imposta pela Lei 8021/90; assim, a letra de câmbio aqui só podera ser nominativa.

Para quem não está acostumado às transações financeiras, parece esquisita uma operação envolvendo três pessoas (sacado, sacador e beneficiário). A letra de câmbio, porém, foi criada com a finalidade de facilitar o comércio. Normalmente, ela é emitida quando uma pessoa (o sacador) é, ao mesmo tempo, credora de outra (o sacado) e devedora de um terceiro (o beneficiário). Por exemplo: João me deve R$ 500,00 e eu devo R$ 500,00 para Francisco; então eu emito uma letra de câmbio ordenado a João que pague R$ 500,00 para Francisco, e mato dois coelhos com uma cajadada só: com um único documento, liquido a dívida de João para comigo e liquido a minha dívida com Francisco. Para a letra de câmbio que eu emiti valer, porém, ela deverá conter a assinatura de João, aceitando pagá-la. Na letra de câmbio, portanto, deve constar o ACEITE do sacado, que é o reconhecimento do compromisso de atendê-la.

A letra de câmbio pode ser negociada (transferida) de beneficiário para beneficiário, mediante endosso nominativo.

Duplicata

É um título de crédito que só existe no Brasil, estritamente utilizado em operações de compra e venda de mercadorias.

O comerciante (EMITENTE), ao vender uma mercadoria a prazo, emite uma duplicata na qual consta o nome do cliente devedor (SACADO), o valor nominal e a data de vencimento, além de outros dados. Após a emissão da duplicata, o cliente deverá assiná-la, isto é, dar o seu ACEITE, que garantirá ao comerciante o recebimento do valor da venda em questão.

A duplicata deve estar associada a uma nota fiscal ou fatura, na qual o vendedor especifica a natureza e a qualidade dos artigos adquiridos pelo comprador, seus respectivos preços, descontos etc., e a importância líquida a ser paga.

A Operação de Desconto Simples

Os títulos descritos acima podem ser negociados pelo seu possuidor antes da data do seu vencimento. Por exemplo, um comerciante, de posse de uma nota promissória ou duplicata no valor de R$ 1.000,00 e que irá vencer daqui a 6 meses, necessitando de dinheiro, pode transferi-la a um banco mediante uma operação denominada DESCONTO. O banco irá “comprar” este título e se encarregará de cobrá-lo de quem se confessa devedor, na data do vencimento. Para o comerciante, é como se o pagamento da dívida tivesse sido ANTECIPADO em nome de PRAZO DE ANTECIPAÇÃO. O valor pago pelo banco na data do desconto é chamado de VALOR ATUAL (V_a) ou VALOR DESCONTADO e o seu cálculo será feito a partir do VALOR NOMINAL (N) ou VALOR DE FACE do título. É evidente que o valor atual é menor do que o valor nominal, pois, teoricamente, deveríamos retirar o juro relativo ao prazo de antecipação; iremos chamar esse juro de DESCONTO (D). A diferença entre o VALOR NOMINAL (N) e o DESCONTO (D) é igual ao VALOR ATUAL (V_a).

V_a = N – D

Existem duas convenções para o cálculo do desconto simples. D e o valor atual V_a , cada uma conduzindo a um resultado diferente: podemos utilizar o conceito de DESCONTO RACIONAL (também chamado de DESCONTO POR DENTRO) ou o conceito de DESCONTO COMERCIAL (também chamado de DESCONTO POR FORA).

Dica: para guardar essas diferentes nomenclaturas, pense no exemplo do livro: a parte racional é o seu conteúdo, ou seja, o que está dentro; a parte comercial, responsável pela propaganda desse tipo de produto e que induz as pessoas a comprá-lo, é a sua capa, que está fora. Em suma, racional = dentro; comercial = fora.

Desconto Racional ou Por Dentro

Observe atentamente o esquema acima, mais simplificado, onde estão representados o valor nominal e o atual na operação de desconto.

No DESCONTO RACIONAL simples, o valor atual (V_a) corresponde a um capital (C), aplicado a juros simples, pelo prazo de antecipação, e o valor nominal (N) corresponde ao montante (M) produzido por essa aplicação.

Vimos que a fórmula do montante a juros simples é dada por:
M = C(1 + in)

Substituindo M por N, e C por V_a , obtemos:

N = V_a (1 + in)

Isolando V_a , temos:

V_a = N/1 + in

Esta última fórmula permite calcular o VALOR DESCONTADO racional simples do título (V_a) a partir do seu VALOR DE FACE (N), da taxa de desconto (i) e do número de períodos de antecipação (n). E para calcular o desconto racional simples, basta fazer D = N – V_a.

Vejamos um exemplo concreto.

Possuo uma nota promissória com o valor nominal de R$ 440,00 que vai vencer dentro de dois meses, mas preciso de dinheiro agora e por isso resolvo descontá-la. Vou até um banco para que ele me antecipe o pagamento dessa nota promissória. O valor pago pelo banco será igual ao valor atual do documento e poderá ser calculado utilizando-se a fórmula acima.

Suponhamos que a taxa de juros adotada pelo banco seja de 5% a.m., temos então que:

N = 440
i = 5% a.m.
n = 2 meses

Aplicando-se a fórmula do valor atual, temos:

V_a = 440/1 + 0,05 . 2 = 440/1,10 = 400

Conclusão: receberei do banco a quantia de R$ 400,00 pela venda de um título de valor nominal igual a R$ 440,00, resgatável somente daqui a 2 meses.

Na realidade, ao efetuar o desconto racional simples, o que o banco está fazendo é me emprestar R$ 400,00 durante 2 meses a uma taxa de juros simples de 5% ao mês.

Para demonstrar isto, vamos considerar um capital de R$ 400,00 aplicado durante 2 meses a uma taxa de juros simples de 5% a.m.

Pela fórmula do montante, teríamos que:

M = C(1 + in)
M = 400 (1 + 0,05 . 2)
M = 400 (1,1)
M = 440

Veja que, embora o valor nominal da nota promissória fosse de R$ 440,00, eu só consegui “vendê-la” ao banco por R$ 400,00. Este é o VALOR ATUAL da nota promissória (V_a), o quanto ela vale HOJE. Da mesma forma, o valor nominal (N) de R$ 440,00 que somente verificar-se-à daqui a dois meses, pode ser designado como sendo seu VALOR FUTURO. A diferença entre o valor atual e o valor futuro (ou valor nominal) da nota promissória é o DESCONTO (D) efetuado pelo banco: R$ 40,00. E a taxa de juros utilizado para o cálculo é chamada de TAXA DE DESCONTO (i).

Em suma, em termos de fórmulas, o cálculo do desconto racional é feito como segue (para indicar que o critério do cálculo do desconto é racional simples, vamos utilizar os subíndices _rs).

Sendo N = V_ars (1 + in), decorre que

V_ars = N/1 +in

onde

•  V_ars é o valor atual racional simples
• N é o valor nominal do título de crédito
• i é a taxa de desconto
• n é o número de períodos antecipados

E para calcularmos o desconto racional simples (D_rs) basta utilizar a fórmula geral do desconto:

D_rs = N - V_ars

Exercício resolvido

1. Considere um título com valor nominal de R$ 1,000, com prazo de vencimento para daqui a 6 meses. Supondo uma taxa de desconto de 5% a.m., qual seria o valor atual racional simples? Qual o valor do desconto respectivo?

Resolução:

N = R$ 1.000
n = 6 meses
i = 5% a.m.
V_ars = ?

V_ars = N/1 + in = 1000/1 + 0,05 . 6 = 1000/1,3

V_ars = 769,23
D_rs = N – V_ars = 1.000 – 769,23
D_rs = 230,77

Verifique que se aplicarmos um capital igual a R$ 769,23 durante 6 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5% a.m., o montante ao final dos 6 meses será igual a R$ 1.000,00

Desconto Comercial ou Por Fora

O desconto comercial tem estrutura de cálculo mais simples do que a do desconto racional, sendo amplamente adotado no Brasil, sobretudo em operações de crédito bancário a curto prazo.

No tópico anterior, quando utilizamos o desconto racional simples, primeiro calculamos o valor atual e depois o desconto. No caso do DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (D_cs) devemos calcular, primeiramente, o desconto, e depois o valor atual.

O desconto comercial simples nada mais é do que os juros que seriam produzidos pelo valor nominal se ele fosse aplicado pelo prazo de antecipação, à taxa do desconto dada. Sendo assim:

D_cs = N . i . n

Como dissemos anteriormente e como você pode constatar pela fórmula acima, o desconto comercial incide sobre o valor nominal do título. Em cima desse falor aplicamos a taxa desconto e multiplicamos pelo número de períodos do prazo de antecipação.

Para calcular o VALOR ATUAL COMERCIAL SIMPLES (V_acs), é só utilizar a fórmula geral do desconto:

D = V_a – N
D_cs = V_acs – N
V_acs = N - D_cs

Substituindo, na equação acima, D_cs por N. i . n, temos:

V_acs = N – N . i . n

No lado direito da igualdade aparece o fator comum N, que pode ser colocado em evidência, fornecendo a fórmula para o cálculo direto do valor atual comercial simples:

V_acs = N(1 – in)

Utilizando o desconto comercial simples, vamos analisar como ficaria o desconto da nota promissória de R$ 440,00 mencionada anteriormente. O prazo de antecipação era de 2 meses e a taxa de desconto, 5% ao mês. Teríamos então que:

D_cs = Nin
D_cs = 440 . 0,05 . 2
D_cs = 44

V_acs = N – D_cs = 440 – 44 = 396

ou utilizando a fórmula que nos fornece diretamente o valor atual:

V_acs = N(1 – in)

V_acs = 440(1 – 0,05 . 2) = 440 . 0,90 = 396

Vimos anteriormente que pelo critério de desconto racional simples eu receberia, pela nota promissória entregue ao banco, o valor de R$ 400,00 correspondente a um desconto de R$ 40,00; agora, pelo critério de desconto comercial simples, recebo R$ 396,00, correspondente a um desconto de R$ 44,00. Podemos perceber, então, que

Para a mesma taxa e mesmo prazo de antecipação, o desconto comercial é maior que o desconto racional.

Exercícios resolvidos

2. Para pagamento à vista de um título que vence em 90 dias, um banco oferece 10% de desconto no seu valor nominal. A taxa de desconto racional simples mensal adotada pelo banco foi de aproximadamente:

Resolução:

Considerando desconto racional temos que:

n = 3 meses
D_rs = 10% de N = 0,10N
Como V_ars = N – D_rs , temos que V_ars = N – 0,10N = 0,90N

Mas V_ars = N/1 + in

N/1 + in = 0,90N

1/1 + i . 3 = 0,90

1 = 0,90 (1 + i . 3)

1 = 0,90 + 2,7i

i = 0,10/2,7 = 0,03703

i = 3,70%

3. Uma pessoa tomou emprestados R$ 10.000,00 mediante assinatura de promissória a pagar após um ano, tendo sido contratada uma taxa de juros simples de 25% a.a. Quatro meses antes do vencimento, o devedor resolveu resgatar o título, contanto que fosse efetuado desconto comercial simples à taxa então vigente no mercado de 28% a.a. O valor líquido que o devedor se propõe a pagar, em R$, seria de:

Resolução:

Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal (N) da nota promissória. Esse valor é o montante que resultaria de R$ 10.000,00 aplicados a 25% a.a. durante 1 ano. Assim,

M = ?
C = 10.000
i = 25% a.a.
n = 1 ano
M = C(1 + in)
M = 10.000 (1 + 0,25 . 1)
M = 10.000 (1,25)
M = 12.500

O valor nominal ou valor de face (N) da nota promissória, portanto, é R$ 12.500,00. Vamos calcular o desconto comercial considerando a taxa de desconto de 28% a.a. Sendo a taxa de desconto anual, precisaremos expressar a antecipação de 4 meses em anos: 4 meses = 1/3 de ano. Segue que n = 1/3. Uma vez que o desconto é comercial, ele será calculado sobre o valor nominal:

D_cs = N. i .n
D_cs = 12.500 . 0,28 . 1/3
D_cs = 1.166,66
V_acs = N – D_cs
V_acs = 12.500 – 1.166,66
V_acs = 11.333,34

Desconto Bancário

É o DESCONTO COMERCIAL acrescido de uma TAXA DE DESPESAS BANCÁRIAS, aplicada sobre o valor nominal.

A taxa de despesas bancárias está relacionada com a as despesas administrativas do banco,  necessárias para efetuar a operação (papel, funcionário, energia elétrica, telefone, correio etc.)

Iremos chamar de “h” a taxa de despesas bancárias. Sendo assim, o desconto bancário ficará:

D_b = Nin + Nh

Colocando N em evidência, temos:

D_b = N (in + h)

Relações Entre o Desconto Racional e o Desconto Comercial

Conforme vimos anteriormente, o desconto comercial simples (D_cs) é igual aos juros produzidos pelo valor nominal (N). Já o desconto racional simples (D_rs) é igual aos juros produzidos pelo valor atual racional simples (V_ars). Decorre que para uma mesma taxa de desconto e mesmo prazo de antecipação o desconto comercial é maior que o desconto racional, pois a base de cálculo do primeiro (valor nominal) é maior que a base de cálculo do segundo (valor atual).

Podemos demonstrar as relações acima matematicamente.

No desconto racional simples, nós vimos que:

V_ars = N/(1 + in)          (I)

e que
D_rs = N - V_ars                        (II)

Vamos substituir (I) em (II):

D_rs = N – N/(1 + in)

Colocando tudo sobre sobre o mesmo denominador:

D_rs = N + Nin – N/(1 + in)

Desenvolvendo, fica:

D_rs = Nin/(1 + in) = D_cs/(1 + in)

Decorre que:

D_cs = D_rs (1 + in)

Vamos que o desconto comercial simples nada mais é do que o desconto racional simples multiplicado pelo fator de acumulação de capital. Em outras palavras, poderíamos dizer que o desconto comercial seria o montante originado de um capital igual ao desconto racional, aplicado no período e à taxa de desconto dados.

Voltemos à formula D_cs = D_rs (1 + in). Aplicando a propriedade distributiva, teremos:

D_cs = D_rs + D_rs in

Passando o termo D_rs para o lado esquerdo do sinal de igual, chegaremos ao seguinte resultado:

D_cs – D_rs = D_rs in

Vemos então que a diferença entre os descontos comercial e racional é igual ao juro simples do desconto racional.

Exercício resolvido

(FTE/91) A diferença entre o desconto comercial e o racional de um título emitido a 150 dias de prazo, à taxa de desconto de 2% a.m., é de $ 1.200,00. Calcular o valor nominal do título.

Resolução:

Temos que:
D_cs – D_rs = 1.200
n = 5 meses
i = 2% a.m.
N = ?

D_cs – D_rs = D_rsin
1.200 = D_rs . 0,02 .5
D_rs = 1.200 / 0,1 = 12.000
D_cs – D_rs = 1.200
D_cs = 1.200 + 12.000
D_cs = 13.200

Mas D_cs = 13.200 = N.i.n
N . 0,02 . 5 = 13.200
N = 13.200 / 0,1 = 132.000
N = $ 132.00,00

Taxa Efetiva de Desconto

TAXA EFETIVA (i_ef) de desconto é a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado do título, produz montante igual ao seu valor nominal.

Com relação à definição acima, cabem duas observações:

1. a definição de taxa efetiva coincide com a de taxa de desconto racional; portanto, quando estivermos trabalhando com DESCONTO RACIONAL , a taxa efetiva (i_ef) será a própria taxa de desconto racional (i_r);

2. quando estivermos trabalhando com DESCONTO COMERCIAL, a taxa efetiva (i_ef) será MAIOR            do que a taxa de desconto comercial (i_c); no caso, corresponderá à taxa de juros que, aplicada sobre o valor atual COMERCIAL simples, produz, no final do prazo de antecipação, montante de valor idêntico ao valor nominal do título.

Exercício resolvido

Uma duplicata de valor nominal R$ 1.000, com vencimento para daqui a 4 meses, foi descontada à taxa de desconto comercial simples de 5% a.m. Determine o valor da taxa efetiva de desconto.

Resolução:

Dados:
N = 1.000
i_c = 5% a.m. = 0,05 a.m.
n = 4

Inicialmente calcularemos o valor atual comercial simples da duplicata (V_acs):

V_acs = N(1 – i_c . n)   (Equação I)

V_acs = 1.000 (1 – 0,05 . 4)
V_acs = 1.000 (0,08)
V_acs = 800

Capitalizando-se esse valor durante 4 meses, à taxa efetiva i_ef que queremos calcular, deveremos obter como montante o valor nominal R$ 1.000. Partindo da fórmula do montante simples, temos:

M = C(1 + in)

A expressão acima, transcrita nos termos do problema proposto, fica assim:

N = V_acs (1 + in)  (Equação II)

Substituindo as letras dessa fórmula pelos valores numéricos do problema, obtemos:

1.000 = 800 (1 + i_ef . 4)

1.000/800 = 1 + i_ef . 4

1,25 = 1 + i_ef . 4

0,25 = i_ef . 4

I_ef = 0,25/4 = 0,0625 = 6,25% a.m.

Conclusão: para uma taxa de desconto comercial simples igual a 5% a.m., a taxa efetiva de desconto é de 6,25% a.m.

Se, em vez de desconto comercial, utilizássemos desconto racional, a taxa efetiva seria a própria taxa de desconto.

Existe uam fórmula que nos fornece a relação entre a taxa de desconto comercial e a taxa efetiva. Para chegar a ela, basta conjugar as equações I e II marcadas no exercício resolvido acima, desenvolver a equação resultante, simplificá-la e isolar a incógnita i_ef. Você obterá a seguinte expressão:

i_ef = i_c/1 – i_c . n

Na fórmula acima,

i_ef = taxa de desconto efetiva;
i_c = taxa de desconto comercial;
n = número de períodos de antecipação.

Observe que, na fórmula dada, não aparece N. Assim, para calcular o valor da taxa efetiva de desconto de um título, não é necessário saber o seu valor nominal. Basta saber a taxa de desconto comercial e o número de períodos de antecipação.

Exercício resolvido

Uma duplicata com vencimento para daqui a 4 meses, foi descontada à taxa de desconto comercial de 5% a.m. Determine o valor de taxa efetiva de desconto.

Resolução:

i_c = 5% a.m. = 0,05 a.m.
n = 4m.
i_ef = ?

i_ef = i_c/1 – i_c. n = 0,05/1 – 0,05 . 4 = 0,0625 = 6,25% a.m.

O resultado obtido é idêntico ao do problema anterior porque, na realidade é o mesmo problema. A única diferença é que, neste último, não foi fornecido o valor nominal do título, dado irrelevante para o cálculo da taxa efetiva de desconto.